अध्याय: संबंध और फलन (Relations and Functions)

1. संबंध (Relation):

अगर दो अवयवों का एक नियत युग्म बनाया जाए, तो वह एक संबंध कहलाता है।

• कोई संबंध A और B के बीच होता है: R ⊆ A × B
• यदि (a, b) ∈ R ⇒ a का संबंध b से है

2. संबंध के प्रकार:

• परावर्ती (Reflexive): ∀ a ∈ A, (a, a) ∈ R
• सममिति (Symmetric): (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
• पारगम्यता (Transitive): (a, b), (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
• समानता संबंध (Equivalence): यदि R परावर्ती, सममिति और पारगामी हो

3. फलन (Function):

कोई फलन एक विशेष प्रकार का संबंध होता है जिसमें प्रत्येक इनपुट के लिए केवल एक आउटपुट होता है।

f: A → B, f(a) = b

• यहाँ A = क्षेत्र (Domain), B = सह-क्षेत्र (Codomain)

4. फलन के प्रकार:

5. सममित फलन (Even Function) और विषम फलन (Odd Function):

• Even: f(–x) = f(x)
• Odd: f(–x) = –f(x)

6. संयोजन फलन (Composite Function):

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

7. प्रतिलोम फलन (Inverse Function):

Bijective फलन के लिए ही प्रतिलोम संभव है

f⁻¹(y) = x ⇒ f(x) = y

सदिश बीजगणित के प्रमुख सूत्र

Matrices

सारणिक (Determinants) के मुख्य सूत्र:

(1) 2×2 सारणिक:

तो |A| = ad − bc

(2) 3×3 सारणिक:

|A| = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − b₁(a₂c₃ − a₃c₂) + c₁(a₂b₃ − a₃b₂)

(3) सारणिक के गुण (Properties):

• यदि कोई दो पंक्तियाँ/स्तंभ समान हों तो |A| = 0
• यदि किसी एक पंक्ति या स्तंभ को k से गुणा किया जाए, तो सारणिक भी k गुना हो जाता है।
• यदि दो पंक्तियाँ/स्तंभ आपस में बदल दिए जाएं, तो चिन्ह बदल जाता है।
• यदि किसी एक पंक्ति/स्तंभ के सभी तत्व शून्य हों, तो |A| = 0

(4) गुणन गुणधर्म (Multiplicative Property):

|AB| = |A| × |B|

(5) Cofactor और Minor:

• Minor: उस तत्व की पंक्ति और स्तंभ हटाकर बना हुआ सारणिक
• Cofactor:   (−1)^i+j × Minor

(6) Adjoint और Inverse:

यदि A का सारणिक |A| ≠ 0 है, तो Inverse:

A⁻¹ = adj(A) |A|

Limit Formulas

अवकलज के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)

📘 1. बढ़ती एवं घटती फलन की पहचान (Identification of Increasing and Decreasing Functions)

बढ़ती फलन (Increasing Function): यदि f'(x) >0, तो f(x) फलन बढ़ता है।

घटती फलन (Decreasing Function): यदि f'(x)<0, तो f(x) फलन घटता है।

स्थिर फलन (Constant Function): यदि f'(x) = 0, तो f(x) फलन स्थिर रहता है।

📘 2. अधिकतम और न्यूनतम मान (Maximum and Minimum Values)

स्थानीय अधिकतम (Local Maximum): यदि f'(x) = 0 और f''(x)<0, तो यह अधिकतम मान होता है।

स्थानीय न्यूनतम (Local Minimum): यदि f'(x) = 0 और f''(x) >0, तो यह न्यूनतम मान होता है।

संपूर्ण अधिकतम और न्यूनतम (Global Maximum and Minimum): यह पूरे डोमेन में पाया जा सकता है।

📘 3. पहले अवकलज की परीक्षा (First Derivative Test)

पहले अवकलज का उपयोग किसी भी बिंदु पर फलन के बढ़ने या घटने की दिशा को जानने के लिए किया जाता है।

विधि:

• फलन f'(x) = 0 पर इसे हल करें।
• फिर पहले अवकलज के संकेत को बदलने का परीक्षण करें।
• यदि f'(x) की दिशा बदलती है, तो अधिकतम या न्यूनतम मान प्राप्त होता है।

📘 4. द्वितीय अवकलज की परीक्षा (Second Derivative Test)

द्वितीय अवकलज का उपयोग अधिकतम या न्यूनतम बिंदुओं को पहचानने के लिए किया जाता है।

विधि:

• यदि f''(x) >0, तो बिंदु न्यूनतम होता है।
• यदि f''(x)<0, तो बिंदु अधिकतम होता है।
• यदि f''(x) = 0, तो कोई निश्चित निर्णय नहीं लिया जा सकता।

📘 5. स्पर्शरेखा और लंब (Tangents and Normals)

स्पर्शरेखा (Tangent): स्पर्शरेखा उस बिंदु पर फलन के अवकलज की दिशा होती है। यदि f'(a) = m, तो स्पर्शरेखा का समीकरण होगा: y - f(a) = m(x - a).

लंब (Normal): लंब, स्पर्शरेखा पर लंबवत रेखा होती है। इसका समीकरण होता है: y - f(a) = -1/m(x - a).

📘 6. दर परिवर्तन (Rate of Change)

दर परिवर्तन (Rate of Change): यह एक ऐसा अनुप्रयोग है, जो वास्तविक जीवन में बदलाव की दर को मापता है, जैसे गति, वृद्धि, और गिरावट आदि।

दृष्टांत:

• गति = dsdt
• वृद्धि दर = dxdy

📘 7. सन्निकटन (Approximation)

सन्निकटन (Approximation): यह प्रक्रिया किसी फलन के मान को उस बिंदु के निकटतम सन्निकटन द्वारा मानने की होती है।

विधि:

• बड़े x के लिए किसी भी समीकरण का लघुगणकीय सन्निकटन किया जाता है।
• इसके लिए, x के मान का उपयोग करके हम कुछ निश्चित रेंज में मान प्राप्त कर सकते हैं।

समाकलन (Integration)

📘 1. अनिश्चित समाकलन के मूलभूत सूत्र (Fundamental Formulas of Indefinite Integration)

अनिश्चित समाकलन (Indefinite Integral): ∫ f(x) dx = F(x) + C, जहाँ C समाकलन का स्थिरांक होता है।

यह समाकलन किसी फलन f(x) का अवकलज के विपरीत होता है।

📘 2. प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution)

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution): यदि u = g(x), तो फिर ∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du।

यह विधि तब प्रयोग की जाती है जब समाकलन में कुछ जटिलता हो और किसी उपयुक्त परिवर्तन से इसे सरल किया जा सके।

📘 3. खंडों में समाकलन (Integration by Parts)

खंडों में समाकलन (Integration by Parts): ∫ u dv = uv - ∫ v du, यह सूत्र उत्पाद के समाकलन के लिए होता है।

यह विधि तब उपयोग की जाती है जब फलन के भागों को अलग-अलग समाकलित करना सरल हो।

📘 4. आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions)

आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions): यदि f(x) को भिन्नों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो उसे भागों में विभाजित करके समाकलन किया जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि ∫(P(x)/Q(x)) dx, तो इसे आंशिक भिन्नों में विभाजित करके समाकलित किया जाता है।

📘 5. त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन (Integration of Trigonometric Functions)

त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन (Integration of Trigonometric Functions): ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C,
∫ cos(x) dx = sin(x) + C,
∫ sec²(x) dx = tan(x) + C,
∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C,
∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C,
∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C

📘 6. विशेष समाकलन (Special Integrals)

विशेष समाकलन 1: ∫ e^x f(x) dx = e^x ∫ f(x) dx

यह समाकलन तब उपयोग किया जाता है जब किसी फलन में e^x शामिल हो।

विशेष समाकलन 2: ∫ (f′(x)/f(x)) dx = log|f(x)| + C

यह समाकलन तब प्रयोग किया जाता है जब किसी फलन का अनुपात उसकी स्वयं की अवकलज से होता है।

📘 7. निश्चित समाकलन के गुण (Properties of Definite Integrals)

दृष्टांत: यदि a और b निश्चित सीमा हैं, तो समाकलन के कुछ गुण इस प्रकार हैं:

• ∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx (सीमाओं का परिवर्तन)
• ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), जहाँ F(x) f(x) का अवकलज है।
• ∫_a^a f(x) dx = 0 (यदि सीमाएँ समान हैं)

📘 8. वक्रों के क्षेत्रफल का निर्धारण (Determining Area Under Curves)

वक्रों के क्षेत्रफल का निर्धारण (Area Under Curves): वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का निर्धारण निश्चित समाकलन द्वारा किया जाता है। यह समीकरण इस प्रकार होता है: A = ∫_a^b f(x) dx, जहाँ A वक्र द्वारा घेरित क्षेत्रफल है।

यह सूत्र किसी कर्व द्वारा निर्धारित क्षेत्र को ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अवकल समीकरण (Differential Equations)

📘 1. अवकल समीकरण की परिभाषा (Definition of Differential Equations)

अवकल समीकरण (Differential Equation): एक समीकरण जिसमें एक या अधिक अवकलज (derivatives) शामिल होते हैं, अवकल समीकरण कहलाता है। यह समीकरण फलन और उसके अवकलजों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

📘 2. क्रम (Order) और घात (Degree) (Order and Degree)

क्रम (Order): अवकल समीकरण में सबसे उच्च अवकलज की शक्ति को क्रम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण में सबसे उच्च अवकलज d²y/dx² है, तो क्रम 2 होगा।

घात (Degree): अवकल समीकरण के सबसे उच्च अवकलज के घात को घात कहा जाता है। यह तब परिभाषित किया जाता है जब समीकरण को पूरी तरह से शुद्ध रूप में लिखा गया हो।

📘 3. सामान्य और विशेष हल (General and Particular Solutions)

सामान्य हल (General Solution): एक अवकल समीकरण का सामान्य हल वह हल होता है जिसमें एक या एक से अधिक अवज्ञात स्थिरांक (constants) होते हैं।

विशेष हल (Particular Solution): एक अवकल समीकरण का विशेष हल वह हल होता है जिसमें स्थिरांक के मान ज्ञात होते हैं।

📘 4. अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equations)

अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equations): अवकल समीकरण बनाने के लिए, एक फलन का अवकलज लिया जाता है और उसे फलन के साथ जोड़कर समीकरण में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि y = x², तो इसका अवकलन y' = 2x होगा।

📘 5. हल की विधियाँ (Methods of Solving)

📘 5.1. चर पृथक्करण विधि (Method of Separation of Variables)

चर पृथक्करण विधि (Method of Separation of Variables): इस विधि में, अवकल समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि एक पक्ष में केवल y के संदर्भ में और दूसरे पक्ष में केवल x के संदर्भ में फलन हो। फिर दोनों पक्षों का समाकलन किया जाता है।

📘 5.2. समरूपी समीकरण (Homogeneous Equations)

समरूपी समीकरण (Homogeneous Equations): एक अवकल समीकरण जिसमें हर पद में x और y दोनों के ही समरूप घात होते हैं, उसे समरूपी समीकरण कहा जाता है।

उदाहरण: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 यदि M और N समान घात के हों, तो यह समरूपी समीकरण कहलाता है।

📘 5.3. रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations)

रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations): यदि अवकल समीकरण को इस रूप में लिखा जा सके:

dy/dx + P(x) y = Q(x),
जहाँ P(x) और Q(x) केवल x के फलन हैं, तो यह रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है।

Mensuration/Geometry

2D Shapes Formulas

3D Shapes Formulas

Linear Equation (रेखीय समीकरण)

Linear Equation (रेखीय समीकरण) गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जिसमें किसी समीकरण में एक या अधिक अज्ञात राशियाँ होती हैं और उन राशियों का संबंध सीधी रेखा के रूप में होता है। आइए Linear Equation को विस्तार से समझते हैं।

Linear Equation (रेखीय समीकरण): एक समीकरण जिसमें अज्ञात राशियों की अधिकतम शक्ति 1 होती है, उसे रेखीय समीकरण कहते हैं। रेखीय समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सीधी रेखा होता है।

Standard Form (मानक रूप)

• जहाँ a  और b  वास्तविक संख्याएँ हैं और x  अज्ञात राशि है।
• Example-

• Solution:

• जहाँ a , b  और  c  वास्तविक संख्याएँ हैं और x  तथा y  अज्ञात राशियाँ हैं।
• Example-
3x + 4y - 5 = 0
• Solution: यदि x   और y  के विभिन्न मानों के लिए समीकरण को संतुलित करें तो:
• जब x = 1  हो, तो 3 ( 1 ) + 4 y - 5 = 0    ⟹    3 + 4 y- 5 = 0    ⟹    4 y = 2    ⟹    y =  12
• जब x = 0  हो, तो 3 ( 0 ) + 4 y- 5 = 0    ⟹    4 y = 5    ⟹     y =  54

Types of Linear Equations (रेखीय समीकरण के प्रकार)

Simple Linear Equation (सरल रेखीय समीकरण): जिसमें केवल एक चर होता है।

• Example- 2 x + 5 = 0

Simultaneous Linear Equations (सहवर्ती रेखीय समीकरण): जिसमें दो या अधिक रेखीय समीकरण एक साथ हल किए जाते हैं।

• Example- 
         { 2x + 3𝑦 = 6 4x − 𝑦 = 5

Linear Inequalities (रेखीय असामिकाएँ): जिसमें अज्ञात राशियों के बीच असामिकाएँ होती हैं।

• Example- 2 x + 3 < 5

Methods to Solve Linear Equations (रेखीय समीकरण हल करने की विधियाँ)

Graphical Method (ग्राफिकल विधि):

• दो चर वाले रेखीय समीकरणों के ग्राफ को खींचकर हल करना।
  Example-
  • समीकरण 2 x + 3 y = 6   और 4x - y = 5  के लिए:
  • 2 x + 3 y = 6  का ग्राफ खींचें।
  • 4x - y = 5  का ग्राफ खींचें।
  • जहाँ दोनों ग्राफ मिलते हैं, वही हल है।

समीकरण (i):  2 x + 3 𝑦 = 6

• जब x = 0 
  

  2 ( 0 ) + 3 y = 6    ⟹    3 y = 6    ⟹    y = 2

  तो बिंदु (0, 2)।

• जब y = 0

  2 x + 3 ( 0 ) = 6    ⟹    2 x = 6    ⟹    x = 3

  तो बिंदु (3, 0)।

समीकरण (ii): 4 x − 𝑦 = 5 

• जब x = 0 x = 0
  

  4 ( 0 ) y = 5    ⟹    y = 5    ⟹    y = 5

  तो बिंदु (0, -5)।

• जब y = 0 y = 0 y =0:

  4 x 0 = 5    ⟹    4 x = 5    ⟹    x =  54 = 1.25

  तो बिंदु (1.25, 0)।

Substitution Method (प्रतिस्थापन विधि):

• एक समीकरण को हल करके दूसरी समीकरण में प्रतिस्थापित करना।
  Example- 
         { x + 𝑦 = 5 x − 𝑦 = 1
  
  पहले समीकरण से :- 𝑥 = 5 − 𝑦
  
  
  इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 
  ( 5 − 𝑦 ) − 𝑦 = 1    ⟹    5 − 2 𝑦 = 1    ⟹    2 𝑦 = 4    ⟹    𝑦 = 2
  
  
  अब 𝑦 का मान पहले समीकरण में रखें:
  𝑥 + 2 = 5    ⟹    𝑥 = 3
  
  
  अतः 𝑥 = 3  और 𝑦 = 2 

Elimination Method (उन्मूलन विधि):

• दोनों समीकरणों को जोड़कर या घटाकर एक चर को समाप्त करना।
  Example- 
         { 2x + 3𝑦 = 6 4x − 𝑦 = 5
  
  दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें और पहले समीकरण को जोड़ें:
         { 2x + 3𝑦 = 6 12x − 3𝑦 = 15

दोनों को जोड़ें:
2 𝑥 + 3 𝑦 + 12 𝑥 − 3 𝑦 = 6 + 15    ⟹    14 𝑥 = 21    ⟹    𝑥 =    2114 =     32
अब 𝑥 का मान किसी एक समीकरण में रखें:
2  ( 32  ) + 3 𝑦 = 6    ⟹    3 + 3 𝑦 = 6    ⟹    3 𝑦 = 3    ⟹    𝑦 = 1
अतः 𝑥 =     32 और 𝑦 = 1

Statistics

Sets

1. Union of Sets / सेट्स का संघ

• Formula: A ∪ B= A ∪ B

Explanation:  The union of two sets A and B is the set of elements that are in A, in B, or in both.

व्याख्या: दो सेट्स A और B का संघ उन तत्वों का सेट है जो A में हैं, B में हैं, या दोनों में हैं।

2. Intersection of Sets / सेट्स का छेदन

• Formula: A ∩ B= A ∩ B

Explanation (English): The intersection of two sets A and B is the set of elements that are in both A and B.

व्याख्या (हिन्दी): दो सेट्स A और B का छेदन उन तत्वों का सेट है जो दोनों A और B में होते हैं।

3. Difference of Sets / सेट्स का अंतर

• Formula: A - B= A - B

Explanation (English): The difference of two sets A and B is the set of elements that are in A but not in B.

व्याख्या (हिन्दी): दो सेट्स A और B का अंतर उन तत्वों का सेट है जो A में हैं लेकिन B में नहीं हैं।

4. Complement of a Set / सेट का पूरक

• Formula: A'= U - A

Explanation (English): The complement of a set A is the set of elements that are not in A, where U is the universal set.

व्याख्या (हिन्दी): एक सेट A का पूरक उन तत्वों का सेट है जो A में नहीं होते, जहाँ U सार्वभौम सेट है।

5. Number of Elements in Union / संघ में तत्वों की संख्या

• Formula: |A ∪ B|= |A| + |B| - |A ∩ B|

Explanation (English): The number of elements in the union of two sets is equal to the sum of the number of elements in each set minus the number of elements in their intersection.

व्याख्या (हिन्दी): दो सेट्स के संघ में तत्वों की संख्या उन दोनों सेट्स में तत्वों की संख्या के योग के बराबर होती है, जिसमें से उनके छेदन के तत्वों की संख्या को घटाया जाता है।

6. Number of Elements in Intersection / छेदन में तत्वों की संख्या

• Formula: |A ∩ B|= |A| + |B| - |A ∪ B|

Explanation (English): The number of elements in the intersection of two sets can be found by subtracting the number of elements in the union from the sum of the number of elements in each set.

व्याख्या (हिन्दी): दो सेट्स के छेदन में तत्वों की संख्या को दो सेट्स के संघ में तत्वों की संख्या को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।

7. Mean (Average):

8. Median:

• डेटा को छोटे से बड़े क्रम में व्यवस्थित करें।
• यदि डेटा संख्या विषम है, तो वह बीच में अंक है।
• यदि डेटा संख्या सम है, तो मध्य दो अंकों का औसत लें। 

Example:  एक वर्ग में छात्रों के गणित टेस्ट के अंक निम्नलिखित हैं: 78, 82, 90, 85, 76, 88। इन अंकों का मध्यांक (Median) क्या है?


• डेटा को छोटे से बड़े क्रम में व्यवस्थित करें: 76, 78, 82, 85, 88, 90।
  संख्या सम है, इसलिए मध्य दो अंकों का औसत लें: 82 + 85 = 167, और 167 / 2 = 83.5।

इसलिए, इन छात्रों के गणित टेस्ट का मध्यांक 83.5 है।

9. Mode:

• सबसे अधिक बार आने वाला डेटा आइटम।

इस डेटा सेट में हम देख सकते हैं कि संख्या 3 सबसे अधिक बार (4 बार) आई है। इसलिए, इस डेटा सेट का बहुलक 3 है।

विभिन्न प्रकार के Mode:

Unimodal (एक बहुलक):जब डेटा सेट में केवल एक ही संख्या सबसे अधिक बार आती है।

• उदाहरण:  3, 7, 3, 2, 5, 3, 8, 7, 6, 3
• Mode: 3

Bimodal (दो बहुलक):जब डेटा सेट में दो संख्याएँ सबसे अधिक बार आती हैं।

• उदाहरण: 3, 7, 3, 2, 5, 3, 8, 7, 6, 3
• Mode: 3 और 7

Multimodal (अनेक बहुलक): जब डेटा सेट में दो से अधिक संख्याएँ सबसे अधिक बार आती हैं।

• उदाहरण: 3, 7, 3, 2, 5, 3, 8, 7, 6, 3, 2, 7
• Mode: 3, 2, और 7

10. Variance: 

Variance = ∑(xi − x̄)²n

यहाँ, 𝑥_𝑖 डेटा आइटम हैं, 𝑥ˉ मान का औसत है, और 𝑛 आइटमों की संख्या है।

उदाहरण: एक गाँव में पाँच किसानों की फसल उत्पादन (क्विंटल में) निम्नलिखित है: 50, 45, 55, 60, 52। इन उत्पादन का वेरियंस (Variance) क्या है?

सबसे पहले, औसत (Mean) निकालें:

Variance = (50 - 52.4)² + (45 - 52.4)² + (55 - 52.4)² + (60 - 52.4)² + (52 - 52.4)² 5

Variance = 6.76 + 49.36 + 7.84 + 29.16 + 0.16 5 = 93.28 5 = 18.656

इसलिए, इन पाँच किसानों के फसल उत्पादन का वेरियंस लगभग 18.656 क्विंटल है।

11. Standard Deviation:

जहाँ:

• x_i = प्रत्येक डेटा बिंदु
• x̅ = डेटा सेट का औसत (Mean)
• n = डेटा बिंदुओं की संख्या

Consider the following data set: 5, 10, 15, 20, 25
निम्नलिखित डेटा सेट पर विचार करें: 5, 10, 15, 20, 25

Step 1: Calculate the mean (average) of the data set.
डेटा सेट का माध्य (औसत) गणना करें।

Mean (μ) / माध्य (μ)  =  (5 + 10 + 15 + 20 + 25) 5 = 15

Step 2: Calculate the squared differences from the mean for each data point.
प्रत्येक डेटा पॉइंट के लिए माध्य से वर्गीकृत अंतर की गणना करें।

Step 3: Find the average of these squared differences.
इन वर्गीकृत अंतर का औसत निकालें।

Variance (σ²) / विचलन (σ²) = (100 + 25 + 0 + 25 + 100) 5 = 50

Step 4: Take the square root of the variance to get the standard deviation.
मानक विचलन प्राप्त करने के लिए विचलन का वर्गमूल निकालें।

Standard Deviation (σ) / मानक विचलन (σ) =    50 ≈ 7.07

For the given data set {5, 10, 15, 20, 25}, the standard deviation is approximately 7.07.
दिए गए डेटा सेट {5, 10, 15, 20, 25} के लिए, मानक विचलन लगभग 7.07 है।

12. Correlation Coefficient (Pearson's r)

औसत (Mean) निकालें:

प्रत्येक xi और yi के औसत के बीच का अंतर निकालें:

इन अंतर के गुणनफल का योग निकालें:

xi के अंतर का वर्ग का योग निकालें:

yi के अंतर का वर्ग का योग निकालें:

Pearson's r निकालें:

13. Coefficient of Variation

औसत (Mean) निकालें:

प्रत्येक डेटा बिंदु और औसत के बीच का अंतर निकालें और प्रत्येक अंतर का वर्ग निकालें:

इन वर्गों का योग निकालें:

वेरियंस (Variance) निकालें:

मानक विचलन (Standard Deviation) निकालें:

Coefficient of Variation (CV) निकालें:

उत्तर: Coefficient of Variation(𝐶𝑉)≈27.22%

14. Normal Distribution

• अंदरूनी क्षेत्र की क्षमता:
P(a ≤ X ≤ b) = Φ(b − μσ) − Φ(a − μσ)

यहाँ, Φ गणितीय फ़ंक्शन है और μ और σ मान हैं।

सामान्य वितरण (Normal Distribution)

सामान्य वितरण गणितीय और सांख्यिकीय अध्ययनों में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। इसे "गॉसियन वितरण" भी कहा जाता है। सामान्य वितरण एक बेल के आकार का ग्राफ होता है, जिसका मध्य बिंदु सबसे अधिक होता है और दोनों ओर बिंदु सममित होते हैं। इसका उपयोग सामान्यतः डेटा के वितरण का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।

सामान्य वितरण का समीकरण (Equation of Normal Distribution)">

सामान्य वितरण का समीकरण निम्नलिखित होता है:

𝑓(𝑥) = 1 (2πσ²) e^{−(𝑥−𝜇)² / 2σ²} जहाँ,
• 𝜇 = माध्य (Mean)
• 𝜎 = मानक विचलन (Standard Deviation)
• यदि हम 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) की गणना करना चाहते हैं, तो यह निम्नलिखित प्रकार से होती है:

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = Φ(𝑏 − 𝜇𝜎) − Φ(𝑎 − 𝜇𝜎)

यहाँ Φ सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन (Cumulative Distribution Function) है।

Example :   मान लीजिए कि किसी कॉलेज के छात्रों के गणित के अंकों का सामान्य वितरण है, जिसका माध्य (𝜇) = 70 और मानक विचलन (𝜎) = 10 है। हमें यह ज्ञात करना है कि कितने प्रतिशत छात्र 60 और 80 अंकों के बीच अंक प्राप्त करते हैं।

Step-by-Step Calculation:

• 𝑎 = 60 और 𝑏 = 80

• 𝑎 − 𝜇 / 𝜎 = 60 − 7010 = −1

  𝑏 − 𝜇 / 𝜎 = 80 − 7010 = 1

• संचयी वितरण फलन Φ का उपयोग करें:

  Φ(1) = 0.8413 और Φ(−1) = 0.1587

• अंतर निकालें:

  Φ(1) − Φ(−1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826

• Step-by-Step Calculation:

  𝑎 = 45 और 𝑏 = 55

• 𝑎 − 𝜇 / 𝜎 = 45 − 505 = −1

  𝑏 − 𝜇 / 𝜎 = 55 − 505 = 1

• संचयी वितरण फलन Φ का उपयोग करें:

  Φ(1) = 0.8413 और Φ(−1) = 0.1587

• अंतर निकालें:

  Φ(1) − Φ(−1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826

निष्कर्ष (Conclusion): 𝑃(45 ≤ 𝑋 ≤ 55) = 0.6826 इसका अर्थ है कि 68.26% छात्र 45 और 55 अंकों के बीच अंक प्राप्त करते हैं।

नमूना वितरण (Sampling Distribution)

• 𝑥 नमूना सांद्रता (Sample Mean) है,
• ∑𝑥 सभी नमूने के लिए सभी डेटा अंकों का योग है, और
• 𝑛 नमूने की संख्या है।

Sampling Distribution of Sample Mean:

Sampling Distribution of Sample Proportion

16. Exponential Distribution

• 𝜆 (lambda) दर (rate) पैरामीटर है।
• 𝑥 गैर-ऋणात्मक संख्या (non-negative number) है (अर्थात 𝑥 ≥ 0)।

Cumulative Distribution Function (CDF)

Mean (माध्य) और Variance (विचलन)

17. Poisson Distribution

• 𝜆 (lambda) घटनाओं की औसत दर (mean rate of occurrences) है।
• 𝑘 एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (non-negative integer) है (अर्थात 𝑘 = 0, 1, 2, …)।

Mean (माध्य) और Variance (विचलन)

• औसत दर (𝜆): 3 ग्राहक प्रति मिनट
• 𝑘: 5 ग्राहक

18. Uniform Distribution

Continuous Uniform Distribution

Continuous Uniform Distribution का Probability Density Function (PDF) निम्नलिखित है:

• 𝑎 और 𝑏 वे सीमा (boundaries) हैं जिनके बीच वितरण होता है।
• 𝑥 वह वैल्यू है जिसके लिए प्रायिकता गणना की जाती है।

Mean (माध्य) और Variance (विचलन)

Discrete Uniform Distribution

• 𝑛 संभावित मानों की कुल संख्या है।
• 𝑥 वह वैल्यू है जिसके लिए प्रायिकता गणना की जाती है।

• 𝑛 = 6 (संभावित मान: 1, 2, 3, 4, 5, 6)