What are natural numbers?

Natural numbers are numbers starting from 1 and extending to infinity, such as 1, 2, 3, 4, ...

Integers include negative numbers, positive numbers, and zero, such as -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...

What is the difference between rational and irrational numbers?

Rational numbers can be expressed as p/q (q ≠ 0), while irrational numbers cannot be expressed in this form, such as √2, π, etc.

Commerce Mathematics Formulas for Classes 9th to 12th & Competitive Exams

Class 9 Class 10 Class 11 Class 12

प्रतिशत (Percentage)

परिभाषा: प्रतिशत का अर्थ होता है – “सौ में कितना”। अर्थात् जब किसी संख्या को 100 के आधार पर व्यक्त किया जाता है, तो उसे प्रतिशत कहा जाता है। इसे % चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण: 40% का अर्थ है 100 में से 40।

प्रतीक:

प्रतिशत का प्रतीक चिन्ह होता है: %

मुख्य सूत्र (Formulas):

प्रतिशत = मूल्यकुल मान × 100
किसी संख्या का x% = x100 × वह संख्या
वृद्धि प्रतिशत = अंतरप्रारंभिक मान × 100
कमी प्रतिशत = अंतरप्रारंभिक मान × 100

प्रयोग:

परीक्षा के अंक प्रतिशत में निकाले जाते हैं।
डिस्काउंट, लाभ-हानि में प्रतिशत का प्रयोग होता है।
जनसंख्या, ब्याज, आदि की गणनाओं में इसका उपयोग होता है।

उदाहरण 1: छात्राओं का प्रतिशत

प्रश्न: किसी कक्षा में 50 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 20 छात्राएं हैं। छात्राओं का प्रतिशत ज्ञात करें।

Solution-
कुल विद्यार्थी = 50
छात्राएं = 20
प्रतिशत = 2050 × 100 = 40%

उदाहरण 2: किसी संख्या का x%

प्रश्न: 600 का 25% कितना होगा?

Solution-
25% = 25100
= 25100 × 600 = 150

उदाहरण 3: किसी वस्तु का मूल्य बढ़ा

प्रश्न: किसी वस्तु का मूल्य पहले ₹800 था, अब वह ₹1000 हो गया है। मूल्य में कितनी प्रतिशत वृद्धि हुई?

Solution-
वृद्धि = 1000 - 800 = 200
वृद्धि प्रतिशत = 200800 × 100 = 25%

उदाहरण 4: वस्तु का मूल्य घटा

प्रश्न: किसी वस्तु की कीमत ₹500 थी, जो घटकर ₹400 रह गई। प्रतिशत में कितनी कमी हुई?

Solution-
कमी = 500 - 400 = 100
कमी प्रतिशत = 100500 × 100 = 20%

साधारण ब्याज (Simple Interest)

जब किसी राशि (मूलधन) पर निश्चित दर से एक निश्चित समय के लिए ब्याज दिया जाता है, तो उसे साधारण ब्याज कहते हैं। यह ब्याज समय के साथ समान रूप से बढ़ता है।

महत्वपूर्ण सूत्र:

1. SI = P × R × T100
2. A = P + SI
3. R = SI × 100P × T
4. T = SI × 100P × R
5. P = SI × 100R × T

उदाहरण 1: साधारण ब्याज निकालना

प्रश्न: ₹5000 की राशि को 3 वर्षों के लिए 6% वार्षिक दर पर निवेश किया गया। साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए।

सूत्र: SI = P × R × T100

Solution-
P = ₹5000
R = 6%
T = 3 वर्ष
SI = 5000 × 6 × 3100
= 90000100
= ₹900
उत्तर: ₹900

उदाहरण 2: कुल राशि निकालना

प्रश्न: यदि ₹7000 पर 2 वर्षों में 10% की दर से साधारण ब्याज ₹1400 हुआ, तो कुल राशि क्या होगी?

सूत्र: A = P + SI

Solution-
P = ₹7000
SI = ₹1400
A = 7000 + 1400
= ₹8400
उत्तर: ₹8400

उदाहरण 3: ब्याज दर निकालना

प्रश्न: ₹4000 की राशि पर 2 वर्षों में ₹320 का साधारण ब्याज मिला। ब्याज दर ज्ञात कीजिए।

सूत्र: R = SI × 100P × T

Solution-
SI = ₹320
P = ₹4000
T = 2
R = 320 × 1004000 × 2
= 320008000
= 4%
उत्तर: 4%

उदाहरण 4: समय निकालना

प्रश्न: ₹6000 पर 5% की दर से ₹750 साधारण ब्याज प्राप्त हुआ। समय ज्ञात कीजिए।

सूत्र: T = SI × 100P × R

Solution-
SI = ₹750
P = ₹6000
R = 5%
T = 750 × 1006000 × 5
= 7500030000
= 2.5 वर्ष
उत्तर: 2.5 वर्ष

उदाहरण 5: मूलधन निकालना

प्रश्न: यदि किसी राशि पर 4 वर्षों में 8% दर से ₹640 साधारण ब्याज मिला, तो मूलधन ज्ञात कीजिए।

सूत्र: P = SI × 100R × T

Solution-
SI = ₹640
R = 8%
T = 4
P = 640 × 1008 × 4
= 6400032
= ₹2000
उत्तर: ₹2000

चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest)

जब ब्याज को हर अवधि के बाद मूलधन में जोड़ दिया जाता है और अगली अवधि का ब्याज नई राशि पर मिलता है, तो उसे चक्रवृद्धि ब्याज कहा जाता है।

महत्वपूर्ण सूत्र

1. A = P × ( 1 + R100 ) ⁿ
2. CI = A - P
3. यदि दर वार्षिक हो और समय वर्ष में: A = P × ( 1 + R100 ) ^T
4. यदि ब्याज अर्धवार्षिक या त्रैमासिक हो:
अर्धवार्षिक: A = P × ( 1 + R2 × 100 ) ^2T
त्रैमासिक: A = P × ( 1 + R4 × 100 ) ^4T

उदाहरण 1: वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज

प्रश्न: ₹5000 की राशि को 2 वर्षों के लिए 10% वार्षिक चक्रवृद्धि दर पर निवेश किया गया। चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

सूत्र: A = P × (1 + R100)^T Solution-
P = ₹5000
R = 10%
T = 2 वर्ष
A = 5000 × (1 + 10100)²
    = 5000 × (1.1)²
    = 5000 × 1.21
    = ₹6050
CI = A - P
    = 6050 - 5000
    = ₹1050
उत्तर: ₹1050

उदाहरण 2: अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज

प्रश्न: ₹8000 को 1.5 वर्ष के लिए 8% अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि दर पर निवेश किया गया। चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

सूत्र: A = P × (1 + R2 × 100)^2T Solution-
P = ₹8000
R = 8%
T = 1.5 वर्ष
2T = 3
R/2 = 4%
A = 8000 × (1 + 4100)³
    = 8000 × (1.04)³
    = 8000 × 1.124864
    ≈ ₹8998.91
CI = A - P
    = 8998.91 - 8000
    ≈ ₹998.91
उत्तर: ₹998.91

उदाहरण 3: त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज

प्रश्न: ₹10000 की राशि को 2 वर्षों के लिए 12% त्रैमासिक चक्रवृद्धि दर पर निवेश किया गया। चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

सूत्र: A = P × (1 + R4 × 100)^4T Solution-
P = ₹10000
R = 12%
T = 2 वर्ष
4T = 8
R/4 = 3%
A = 10000 × (1 + 3100)⁸
    = 10000 × (1.03)⁸
    = 10000 × 1.26677
    ≈ ₹12667.7
CI = A - P
    = 12667.7 - 10000
    ≈ ₹2667.7
उत्तर: ₹2667.7

सारांश (Summary)

चक्रवृद्धि ब्याज में प्रत्येक अवधि के ब्याज को मूलधन में जोड़ दिया जाता है।
वार्षिक: A = P × (1 + R100)^T
CI = A - P
अर्धवार्षिक या त्रैमासिक के लिए समय व दर को उचित रूप में परिवर्तित करें।

साझेदारी (Partnership)

साझेदारी वह स्थिति है जब दो या दो से अधिक व्यक्ति एक साथ मिलकर किसी व्यापार या व्यापारिक गतिविधि में निवेश करते हैं। साझेदारी का लाभ या हानि उन लोगों के बीच उनके निवेश के अनुपात में बांटा जाता है।

सूत्र

सूत्र: लाभ या हानि = (प्रत्येक व्यक्ति का योगदान / कुल योगदान) × कुल लाभ या हानि

उदाहरण 1: राम, श्याम और मोहन ने ₹5000, ₹3000, और ₹2000 क्रमशः एक व्यापार में निवेश किए। अगर व्यापार से ₹6000 का लाभ हुआ है, तो लाभ की राशि किसे कितनी मिलेगी?

सूत्र: लाभ = (व्यक्ति का निवेश / कुल निवेश) × कुल लाभ

📘 उदाहरण 1: तीन व्यक्तियों के बीच लाभ का वितरण

निवेश: राम = ₹5000, श्याम = ₹3000, मोहन = ₹2000

कुल निवेश = ₹5000 + ₹3000 + ₹2000 = ₹10000

कुल लाभ = ₹6000

राम का लाभ = (500010000) × 6000 = ₹3000
श्याम का लाभ = (300010000) × 6000 = ₹1800
मोहन का लाभ = (200010000) × 6000 = ₹1200

✅ उत्तर: राम को ₹3000, श्याम को ₹1800 और मोहन को ₹1200 का लाभ मिलेगा।

📘 उदाहरण 1: तीन व्यक्तियों के बीच लाभ का वितरण

निवेश: राम = ₹5000, श्याम = ₹3000, मोहन = ₹2000

कुल निवेश = ₹5000 + ₹3000 + ₹2000 = ₹10000

कुल लाभ = ₹6000

राम का लाभ = (500010000) × 6000 = ₹3000
श्याम का लाभ = (300010000) × 6000 = ₹1800
मोहन का लाभ = (200010000) × 6000 = ₹1200

✅ उत्तर: राम को ₹3000, श्याम को ₹1800 और मोहन को ₹1200 का लाभ मिलेगा।

लाभ और हानि (Profit and Loss)

किसी वस्तु को बेचने और खरीदने से होने वाले लाभ या हानि की गणना लाभ और हानि के सूत्रों से की जाती है।

प्रमुख परिभाषाएँ (Key Terms)

क्रय मूल्य (Cost Price - CP): जिस मूल्य पर वस्तु खरीदी जाती है।
विक्रय मूल्य (Selling Price - SP): जिस मूल्य पर वस्तु बेची जाती है।
लाभ (Profit): SP > CP होने पर।
हानि (Loss): CP > SP होने पर।

महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)

1. लाभ = SP - CP
2. हानि = CP - SP
3. लाभ प्रतिशत = लाभCP × 100
4. हानि प्रतिशत = हानिCP × 100
5. SP = CP × (1 + Profit%100)
6. SP = CP × (1 - Loss%100)
7. CP = SP (1 + Profit%100)
8. CP = SP (1 - Loss%100)

उदाहरण 1: लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए

प्रश्न: किसी वस्तु को ₹800 में खरीदा और ₹960 में बेचा गया। लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

सूत्र: लाभ प्रतिशत = लाभCP × 100

Solution-
CP = ₹800
SP = ₹960
लाभ = SP - CP = 960 - 800 = ₹160
लाभ प्रतिशत = 160800 × 100 = 0.2 × 100 = 20%
उत्तर: 20%

उदाहरण 2: हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए

प्रश्न: किसी वस्तु को ₹1200 में खरीदा और ₹1080 में बेचा गया। हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

सूत्र: हानि प्रतिशत = हानिCP × 100

Solution-
CP = ₹1200
SP = ₹1080
हानि = CP - SP = 1200 - 1080 = ₹120
हानि प्रतिशत = 1201200 × 100 = 0.1 × 100 = 10%
उत्तर: 10%

उदाहरण 3: लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए SP ज्ञात कीजिए

प्रश्न: ₹2000 में खरीदी गई वस्तु को कितने में बेचा जाए जिससे 15% का लाभ हो?

सूत्र: SP = CP × (1 + Profit%100)

Solution-
CP = ₹2000
Profit% = 15
SP = 2000 × (1 + 15100) = 2000 × 1.15 = ₹2300
उत्तर: ₹2300

उदाहरण 4: हानि प्रतिशत के साथ SP ज्ञात कीजिए

प्रश्न: किसी वस्तु को ₹1500 में खरीदा गया। यदि 10% हानि हो तो विक्रय मूल्य क्या होगा?

सूत्र: SP = CP × (1 - Loss%100)

Solution-
CP = ₹1500
Loss% = 10
SP = 1500 × (1 - 10100) = 1500 × 0.9 = ₹1350
उत्तर: ₹1350

छूट (Discount)

📌 परिभाषा:

जब किसी वस्तु की मूल्य पर कुछ राशि घटा दी जाती है तो उसे "छूट" कहते हैं। यह ग्राहकों को आकर्षित करने के लिए दुकानदारों द्वारा दी जाती है।

📌 अंकित मूल्य (Marked Price - MP):

वह मूल्य जो वस्तु पर लिखा होता है, उसे अंकित मूल्य कहते हैं।

📌 विक्रय मूल्य (Selling Price - SP):

छूट देने के बाद वस्तु जिस मूल्य पर बेची जाती है, उसे विक्रय मूल्य कहते हैं।

📌 छूट राशि (Discount Amount - D):

D = MP − SP

📌 छूट प्रतिशत (Discount %):

Discount % = Discount × 100Marked Price

📌 सूत्रों का सारांश:

📍 Discount = MP − SP
📍 SP = MP − Discount
📍 Discount % = Discount × 100MP
📍 Discount = Discount % × MP100
📍 SP = MP × (100 − Discount %)100

📌 उदाहरण:

यदि किसी वस्तु का MP ₹1000 है और छूट 10% है, तो Discount = 10 × 1000100 = ₹100 SP = 1000 − 100 = ₹900

बट्टा (Trade Discount / Rebate)

📌 परिभाषा:

जब किसी वस्तु पर विक्रेता द्वारा ग्राहक को विशेष छूट दी जाती है, जिसे बिल पर से घटा दिया जाता है, तो उस छूट को **बट्टा (Rebate या Trade Discount)** कहते हैं। यह मूल्य पर आधारित होता है, और अधिकतर थोक विक्रेताओं द्वारा ग्राहकों को दिया जाता है।

📌 प्रमुख शब्दावली:

अंकित मूल्य (Marked Price - MP): वस्तु पर लिखा गया मूल्य
बट्टा प्रतिशत (Discount %): अंकित मूल्य पर दी गई प्रतिशत छूट
क्रय मूल्य (Net Price / Buying Price): बट्टा घटाने के बाद वास्तविक मूल्य

📌 बट्टा के सूत्र:

📍 बट्टा = बट्टा % × MP100
📍 क्रय मूल्य = MP − बट्टा
📍 क्रय मूल्य = MP × (100 − बट्टा %)100
📍 बट्टा % = बट्टा × 100MP
📍 MP = क्रय मूल्य × 100100 − बट्टा %

📌 उदाहरण:

एक वस्तु का अंकित मूल्य ₹2500 है और उस पर 20% बट्टा दिया गया है।
बट्टा = 20 × 2500100 = ₹500
क्रय मूल्य = 2500 − 500 = ₹2000
या, क्रय मूल्य = 2500 × 80100 = ₹2000

📌 उपयोग:

थोक व्यापार में बट्टा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
ग्राहक को वास्तविक मूल्य में कमी मिलती है जिससे क्रय आकर्षक बनता है।

वेतन और भत्ते (Salary and Allowances)

📌 परिभाषा:

वेतन (Salary) वह निश्चित राशि होती है जो किसी कर्मचारी को उसकी सेवा के बदले प्रति माह दी जाती है। भत्ते (Allowances) वे अतिरिक्त लाभ होते हैं जो वेतन के अतिरिक्त दिए जाते हैं।

📌 वेतन के प्रकार:

मूल वेतन (Basic Pay): वेतन का मूल भाग, जिस पर सभी गणनाएँ आधारित होती हैं।
भत्ते (Allowances): अतिरिक्त सुविधाएँ जैसे DA, HRA, आदि।
कुल वेतन (Gross Salary): मूल वेतन + सभी भत्ते।
शुद्ध वेतन (Net Salary): कुल वेतन − कटौतियाँ (जैसे PF, टैक्स)।

📌 प्रमुख भत्ते (Main Allowances):

DA (Dearness Allowance) – महँगाई भत्ता
HRA (House Rent Allowance) – मकान किराया भत्ता
TA (Travel Allowance) – यात्रा भत्ता

📌 वेतन से संबंधित सूत्र:

📍 DA = DA % × मूल वेतन100
📍 HRA = HRA % × मूल वेतन100
📍 कुल वेतन (Gross Salary) = मूल वेतन + DA + HRA + अन्य भत्ते
📍 शुद्ध वेतन (Net Salary) = कुल वेतन − कुल कटौतियाँ

📌 उदाहरण:

मूल वेतन = ₹20,000, DA = 10%, HRA = 20%
DA = 10 × 20000100 = ₹2,000
HRA = 20 × 20000100 = ₹4,000
कुल वेतन = 20000 + 2000 + 4000 = ₹26,000
यदि कुल कटौतियाँ ₹1,000 हैं, तो शुद्ध वेतन = ₹26,000 − ₹1,000 = ₹25,000

📌 नोट:

DA और HRA प्रतिशत अलग-अलग संस्थानों और सरकारी मानदंडों के अनुसार बदल सकते हैं।
कुछ कटौतियाँ अनिवार्य होती हैं जैसे PF, Professional Tax, आदि।

1. साधारण ब्याज (Simple Interest)

📌 सूत्र:

📍 SI = P × R × T100
📍 Amount = SI + P

2. चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest)

📌 सूत्र:

📍 CI = P × [ (1 + R100)^T − 1 ]
📍 Amount = P × (1 + R100)^T

3. लाभ और हानि (Profit and Loss)

📌 सूत्र:

📍 लाभ = विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य
📍 हानि = क्रय मूल्य − विक्रय मूल्य
📍 लाभ % = लाभक्रय मूल्य × 100
📍 हानि % = हानिक्रय मूल्य × 100

4. छूट (Discount)

📌 सूत्र:

📍 Discount = अंकित मूल्य − विक्रय मूल्य
📍 Discount % = Discountअंकित मूल्य × 100

5. बट्टा (True Discount)

📌 सूत्र:

📍 बट्टा (TD) = PW × R × T100
📍 Present Worth (PW) = FW1 + R × T100
📍 FW = PW + बट्टा

6. वेतन और भत्ते (Salary & Allowances)

📌 सूत्र:

📍 DA = DA % × मूल वेतन100
📍 HRA = HRA % × मूल वेतन100
📍 Gross Salary = मूल वेतन + DA + HRA + अन्य भत्ते
📍 Net Salary = Gross Salary − कटौतियाँ

7. आयकर (Income Tax)

📌 सूत्र:

📍 कर = कर % × कर योग्य आय100
📍 कर योग्य आय = कुल आय − अनुमन्य कटौतियाँ

8. भिन्न और दशमलव भिन्न (Fractions & Decimals)

📌 मुख्य सूत्र:

📍 समान हर वाले भिन्नों में जोड़ = हर × जोड़े गए अंशहर
📍 भिन्न से दशमलव = अंश ÷ हर
📍 दशमलव से भिन्न = दशमलव को पूरा10, 100, 1000 के रूप में लिखना

वस्तु एवं सेवा कर (GST)

📌 परिभाषा:

GST यानी वस्तु एवं सेवा कर, एक अप्रत्यक्ष कर (Indirect Tax) है जो वस्तुओं और सेवाओं की खरीद और बिक्री पर लगाया जाता है। यह केंद्र और राज्य दोनों सरकारों द्वारा एक साथ लगाया जाता है।

📌 GST के प्रकार:

1️⃣ CGST (Central GST) – केंद्र सरकार द्वारा वसूला जाता है।
2️⃣ SGST (State GST) – राज्य सरकार द्वारा वसूला जाता है।
3️⃣ IGST (Integrated GST) – दो राज्यों के बीच व्यापार में लगता है।

📌 GST पर महत्वपूर्ण सूत्र:

📍 GST = मूल्य × GST दर100
📍 कुल राशि = वस्तु का मूल्य + GST
📍 वस्तु का मूल्य = कुल राशि1 + GST दर100

📌 यदि GST जोड़ी गई हो:

📍 मूल्य = कुल भुगतान राशि1 + GST%100
📍 GST राशि = कुल राशि − मूल वस्तु मूल्य

📌 उदाहरण:

वस्तु का मूल्य = ₹1,000
GST दर = 18%
GST = 1000 × 18100 = ₹180
कुल राशि = 1000 + 180 = ₹1180

📌 उपयोगी सूत्र (CGST और SGST दोनों के लिए):

📍 CGST = SGST = GST2
📍 यदि GST दर 18% है, तो CGST = 9% और SGST = 9%

📌 IGST के लिए:

📍 IGST = मूल्य × IGST दर100

बैंकिंग (Banking)

📌 परिभाषा:

बैंकिंग गणित से आशय उन गणनाओं से है जो बैंकिंग सेवाओं जैसे ब्याज, चेक, पासबुक, चालान, जमाराशि, ऋण आदि से जुड़ी होती हैं।

📌 मुख्य बैंकिंग सूत्र (A to Z):

A. Amount (राशि) = Principal + Interest
B. Bank Discount = Face Value × Rate × Time100
C. Compound Interest (CI) = Amount − Principal
D. Due Value = Face Value − Bank Discount
E. Effective Rate = InterestPrincipal × Time × 100
F. Face Value (FW): परिपक्वता पर देय कुल राशि
G. Gross Amount = Principal + Compound Interest
H. Holding Period Return (HPR) = Ending Value − Beginning ValueBeginning Value × 100
I. Interest (SI) = Principal × Rate × Time100
J. Joint Account – एक से अधिक व्यक्तियों द्वारा संचालित खाता
K. KYC – Know Your Customer
L. Loan EMI = P × R × (1+R)ⁿ(1+R)ⁿ − 1
M. Maturity Value = Principal + Interest
N. Net Amount = Gross − Charges/Fees
O. Overdraft – बैंक द्वारा सीमा से अधिक निकासी की अनुमति
P. Present Worth (PW) = FW1 + R × T100
Q. Quarterly Interest = Principal × Rate × Time400
R. Recurring Deposit (RD) Maturity = n × P + P × n(n + 1) × R2400
S. Savings Interest = Balance × Rate × Time100
T. Term Deposit Interest = Principal × Rate × Time100
U. Unpaid Interest – अब तक भुगतान नहीं किया गया ब्याज
V. Value Date – वह तारीख जब राशि खाते में प्रतिबिंबित होती है
W. Withdrawal – खाते से धन निकालना
X. XML Banking Data Format – बैंकिंग सूचना का एक तकनीकी प्रारूप
Y. Yield – निवेश पर लाभ
Z. Zero Balance Account – बिना न्यूनतम शेष के चालू खाता

📌 बैंकिंग से जुड़ी सेवाएँ:

ATM, NEFT, RTGS, IMPS
Internet Banking, Mobile Banking
Debit/Credit Card

📌 नोट:

समय यदि महीनों में हो तो:

SI = P × R × T1200

समय यदि दिनों में हो तो:

SI = P × R × T36500

स्क्वेयर रूट & क्यूब रूट

📘 स्क्वेयर रूट (Square Root)

स्क्वेयर रूट किसी संख्या के उस मान को दर्शाता है जिसे स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।
उदाहरण के लिए, 16 = 4, क्योंकि 4 × 4 = 16

📌 सूत्र (Formula):
√a = a

🔢 उदाहरण:
यदि a = 25, तो √25 = 25 = 5 क्योंकि 5 × 5 = 25
यदि a = 36, तो √36 = 36 = 6 क्योंकि 6 × 6 = 36

🧠 Pair बनाकर निकालना:
मान लो a = 144
Step 1: 144 के pair बनाओ — 1 | 44
Step 2: सबसे पास perfect square देखो — 12 × 12 = 144
तो √144 = 144 = 12

📘 क्यूब रूट (Cube Root)

क्यूब रूट किसी संख्या के उस मान को दर्शाता है जिसे स्वयं से तीन बार गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।
उदाहरण के लिए, ∛27 = 3, क्योंकि 3 × 3 × 3 = 27

📌 सूत्र (Formula):
∛a = ³a

🔢 उदाहरण:
यदि a = 64, तो ∛64 = ³64 = 4
यदि a = 125, तो ∛125 = ³125 = 5

🧠 कैसे निकालते हैं:
मान लो a = 1000
Step 1: ∛1000 = ³1000
Step 2: 10 × 10 × 10 = 1000
तो उत्तर है: 10

✅ निष्कर्ष:
a = स्क्वेयर रूट
³a = क्यूब रूट

समय, कार्य और दूरी (Time, Work, and Distance)

समय, कार्य और दूरी के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध है जो शारीरिक गति और काम करने के समय की गणना से संबंधित है। यह विषय मुख्य रूप से गति, समय और दूरी के नियमों पर आधारित है।

सूत्र

समय (Time) = कार्य (Work) / गति (Speed)
कार्य (Work) = गति (Speed) × समय (Time)
दूरी (Distance) = गति (Speed) × समय (Time)

उदाहरण 1: अगर कोई व्यक्ति 10 किलोमीटर प्रति घंटे की गति से यात्रा करता है, तो वह 2 घंटे में कितनी दूरी तय करेगा?

सूत्र: Distance = Speed × Time Solution-

गति = 10 km/h
समय = 2 hours
दूरी = 10 × 2 = 20 km

उत्तर: वह 20 किलोमीटर की दूरी तय करेगा।

उदाहरण 2: एक ट्रैन 60 किलोमीटर प्रति घंटे की गति से यात्रा करती है। अगर वह 3 घंटे यात्रा करती है, तो वह कितनी दूरी तय करती है?

सूत्र: Distance = Speed × Time Solution-

गति = 60 km/h
समय = 3 hours
दूरी = 60 × 3 = 180 km

उत्तर: ट्रैन 180 किलोमीटर की दूरी तय करेगी।

उदाहरण 3: एक व्यक्ति 100 किलोमीटर की दूरी 5 घंटे में तय करता है। उसकी गति ज्ञात करें।

सूत्र: Speed = Distance / Time Solution-

दूरी = 100 km
समय = 5 hours
गति = 100 / 5 = 20 km/h

उत्तर: व्यक्ति की गति 20 किलोमीटर प्रति घंटे होगी।

प्रैक्टिस प्रश्न (Practice Questions)

1. एक वाहन 50 किलोमीटर प्रति घंटे की गति से यात्रा करता है। अगर वह 4 घंटे यात्रा करता है, तो वह कितनी दूरी तय करेगा?
2. एक व्यक्ति 72 किलोमीटर की दूरी 8 घंटे में तय करता है। उसकी गति ज्ञात करें।

कार्य और समय (Work and Time)

कार्य और समय के बीच संबंध यह बताता है कि कोई काम कितने समय में पूरा किया जाएगा। इसे आमतौर पर "कार्य दर" के रूप में समझा जाता है, जो समय के साथ काम की मात्रा को परिभाषित करता है।

सूत्र

कार्य (Work) = दर (Rate) × समय (Time)
समय (Time) = कार्य (Work) / दर (Rate)

उदाहरण 1: अगर एक व्यक्ति 6 घंटे में 30 किलोमीटर की यात्रा करता है, तो उसकी कार्य दर (speed) ज्ञात करें।

सूत्र: Rate = Work / Time Solution-

कार्य = 30 km
समय = 6 hours
दर (Rate) = 30 / 6 = 5 km/h

उत्तर: व्यक्ति की कार्य दर 5 किलोमीटर प्रति घंटा होगी।

उदाहरण 2: एक व्यक्ति 8 घंटे में 64 किलोमीटर की यात्रा करता है। उसका समय कितनी दूरी तय करने में लगेगा अगर वह 10 किलोमीटर प्रति घंटे की गति से चलता है?

सूत्र: Work = Rate × Time Solution-

दर = 10 km/h
समय = 8 hours
कार्य = 10 × 8 = 80 km

उत्तर: व्यक्ति 80 किलोमीटर की दूरी तय करेगा।

पाइप और टंकी (Pipes and Tanks)

पाइप और टंकी के विषय में गणना करते समय, एक टंकी को भरने और खाली करने वाले पाइपों के काम की दर का अंतर लिया जाता है। यह गणना इस प्रकार की जाती है कि भरने और खाली करने वाली दरें आपस में जोड़कर टंकी भरने में कितना समय लगेगा, यह बताया जा सकता है।

सूत्र

समय (Time) = टंकी की क्षमता (Capacity) / (भरने की दर - खाली करने की दर)
काम करने की दर (Work rate) = (भरने की दर) - (खाली करने की दर)

उदाहरण 1: अगर एक पाइप 4 घंटे में टंकी को भरता है और दूसरा पाइप 6 घंटे में टंकी को खाली करता है, तो दोनों पाइप मिलकर टंकी को कितने घंटे में भरेंगे?

सूत्र: Time = Capacity / (Filling rate - Emptying rate) Solution-

भरने की दर = 14 (4 घंटे में टंकी भरता है)
खाली करने की दर = 16 (6 घंटे में टंकी खाली करता है)
कुल दर = ( 14 - 16 )
= 312 - 212
= 112
समय = 11/12 = 12 घंटे

उत्तर: दोनों पाइप मिलकर 12 घंटे में टंकी भरेंगे।

उदाहरण 2: एक पाइप 3 घंटे में टंकी को भरता है और दूसरा पाइप 5 घंटे में टंकी को खाली करता है। यदि दोनों पाइप एक साथ काम करते हैं, तो टंकी भरने में कितने घंटे लगेंगे?

सूत्र: Time = Capacity / (Filling rate - Emptying rate) Solution-

भरने की दर = 13 (3 घंटे में टंकी भरता है)
खाली करने की दर = 15 (5 घंटे में टंकी खाली करता है)
कुल दर = ( 13 - 15 )
= 515 - 315
= 215
समय = 12/15 = 152 = 7.5 घंटे

उत्तर: दोनों पाइप मिलकर 7.5 घंटे में टंकी भरेंगे।

उदाहरण 3: एक पाइप टंकी को 10 घंटे में भरता है और दूसरा पाइप 12 घंटे में टंकी को खाली करता है। यदि दोनों पाइप एक साथ काम कर रहे हैं, तो टंकी को भरने में कितना समय लगेगा?

सूत्र: Time = Capacity / (Filling rate - Emptying rate) Solution-

भरने की दर = 110 (10 घंटे में टंकी भरता है)
खाली करने की दर = 112 (12 घंटे में टंकी खाली करता है)
कुल दर = ( 110 - 112 )
= 660 - 560
= 160
समय = 11/60 = 60 घंटे

उत्तर: दोनों पाइप मिलकर 60 घंटे में टंकी भरेंगे।

प्रैक्टिस प्रश्न (Practice Questions)

1. यदि एक पाइप 8 घंटे में टंकी भरता है और दूसरा पाइप 6 घंटे में टंकी खाली करता है, तो दोनों मिलकर टंकी को कितने घंटे में भरेंगे?
2. एक पाइप 4 घंटे में टंकी भरता है और दूसरा पाइप 5 घंटे में टंकी खाली करता है। अगर दोनों पाइप एक साथ कार्य करें तो टंकी भरने में कितना समय लगेगा?

रेलवे और गति से संबंधित उदाहरण

उदाहरण 1: ट्रेन की गति ज्ञात करना

प्रश्न: एक ट्रेन 240 किलोमीटर की दूरी 4 घंटे में तय करती है। ट्रेन की गति ज्ञात करें।

सूत्र: Speed = Distance / Time Solution-

दूरी = 240 km
समय = 4 hours
गति = 2404 = 60 km/h

उत्तर: ट्रेन की गति 60 किलोमीटर प्रति घंटा होगी।

उदाहरण 2: यात्रा में समय का अनुमान

प्रश्न: एक ट्रेन 150 किलोमीटर की दूरी 3 घंटे में तय करती है। ट्रेन की गति का अनुमान करें।

सूत्र: Speed = Distance / Time Solution-

दूरी = 150 km
समय = 3 hours
गति = 1503 = 50 km/h

उत्तर: ट्रेन की गति 50 किलोमीटर प्रति घंटा होगी।

उदाहरण 3: यात्रा में दूरी का अनुमान

प्रश्न: एक ट्रेन 80 किलोमीटर प्रति घंटे की गति से यात्रा कर रही है। अगर ट्रेन 5 घंटे तक यात्रा करती है, तो वह कितनी दूरी तय करेगी?

सूत्र: Distance = Speed × Time Solution-

गति = 80 km/h
समय = 5 hours
दूरी = 80 × 5 = 400 km

उत्तर: ट्रेन 5 घंटे में 400 किलोमीटर की दूरी तय करेगी।

उदाहरण 4: यात्रा में समय का अनुमान

प्रश्न: एक ट्रेन की गति 120 किलोमीटर प्रति घंटा है। अगर उसे 360 किलोमीटर की यात्रा करनी है, तो ट्रेन को यात्रा में कितने घंटे लगेंगे?

सूत्र: Time = Distance / Speed Solution-

दूरी = 360 km
गति = 120 km/h
समय = 360120 = 3 hours

उत्तर: ट्रेन को यात्रा करने में 3 घंटे का समय लगेगा।

उदाहरण 5: दूरी का अनुमान

प्रश्न: एक ट्रेन की गति 90 किलोमीटर प्रति घंटा है और उसे 8 घंटे तक यात्रा करनी है। ट्रेन कितनी दूरी तय करेगी?

सूत्र: Distance = Speed × Time Solution-

गति = 90 km/h
समय = 8 hours
दूरी = 90 × 8 = 720 km

उत्तर: ट्रेन 8 घंटे में 720 किलोमीटर की दूरी तय करेगी।

अवधि और गत्यात्मक प्रश्न

प्रश्न: एक ट्रेन की गति 150 किलोमीटर प्रति घंटे है और वह 12 घंटे तक यात्रा करती है। यात्रा की कुल दूरी ज्ञात करें।

सूत्र: Distance = Speed × Time Solution-

गति = 150 km/h
समय = 12 hours
दूरी = 150 × 12 = 1800 km

उत्तर: ट्रेन 12 घंटे में 1800 किलोमीटर की दूरी तय करेगी।

🚤 नाव और धारा

📘 परिभाषा:

जब कोई नाव किसी नदी में बहती हुई धारा के साथ या उसके विपरीत चलती है, तो उस पर धारा का प्रभाव पड़ता है। इसी अवधारणा को नाव और धारा कहते हैं।

⚙️ मुख्य शब्द:

नाव की चाल (Speed of Boat in Still Water): b km/h
धारा की चाल (Speed of Stream): s km/h
अनुकूल धारा (Downstream): जब नाव धारा की दिशा में चलती है ⇒ चाल = (b + s)
प्रतिकूल धारा (Upstream): जब नाव धारा के विपरीत चलती है ⇒ चाल = (b - s)

📐 महत्वपूर्ण सूत्र:

स्थिति	सूत्र
अनुकूल धारा में चाल	(b + s) km/h
प्रतिकूल धारा में चाल	(b - s) km/h
नाव की चाल (b)	Downstream + Upstream2
धारा की चाल (s)	Downstream - Upstream2
समय	DistanceSpeed

🧮 उदाहरण 1:

प्रश्न: एक नाव की स्थिर जल में चाल 10 km/h है और धारा की चाल 2 km/h है। अनुकूल और प्रतिकूल धारा में नाव की चाल ज्ञात करें।

अनुकूल चाल = b + s = 10 + 2 = 12 km/h
प्रतिकूल चाल = b - s = 10 - 2 = 8 km/h

🧮 उदाहरण 2:

प्रश्न: एक नाव अनुकूल धारा में 30 km की दूरी 2 घंटे में तय करती है और प्रतिकूल धारा में वही दूरी 3 घंटे में तय करती है। नाव और धारा की चाल ज्ञात करें।

चरण 1: Downstream speed = 302 = 15 km/h
चरण 2: Upstream speed = 303 = 10 km/h
चरण 3: नाव की चाल (b) = 15 + 102 = 12.5 km/h
चरण 4: धारा की चाल (s) = 15 - 102 = 2.5 km/h
उत्तर: नाव = 12.5 km/h, धारा = 2.5 km/h

🧮 उदाहरण 3 (Conceptual):

प्रश्न: एक नाव की चाल स्थिर जल में 14 km/h है और धारा की चाल 4 km/h है। नाव को 36 km प्रतिकूल धारा में जाने और लौटने में कितना समय लगेगा?

चरण 1: प्रतिकूल चाल = 14 - 4 = 10 km/h
चरण 2: अनुकूल चाल = 14 + 4 = 18 km/h
चरण 3: प्रतिकूल में समय = 3610 = 3.6 घंटे
चरण 4: अनुकूल में समय = 3618 = 2 घंटे
कुल समय = 3.6 + 2 = 5.6 घंटे

📌 उपयोगी टिप्स:

यदि दूरी समान हो और समय दिया हो, तो चाल = दूरी / समय
यदि चाल दी हो और दूरी पूछी जाए, तो दूरी = चाल × समय
समय कम, चाल अधिक ⇒ अनुपात का प्रयोग करें

🎯 निष्कर्ष:

धारा की चाल जोड़ने से नाव तेजी से जाती है (अनुकूल धारा)
धारा की चाल घटाने से नाव धीमी हो जाती है (प्रतिकूल धारा)
सभी सवालों में सूत्र एक जैसे हैं — फर्क सिर्फ दूरी, समय, और चाल के रूप में पूछे जाने में होता है।

👪 आयु संबंध (Age Relations)

आयु संबंध की समस्याएँ गणित की एक महत्वपूर्ण श्रेणी है जहाँ दो या दो से अधिक व्यक्तियों की वर्तमान, भूतकालीन या भविष्य की आयु को आधार बनाकर प्रश्न पूछे जाते हैं। इनमें हम अनुपात, अंतर और समीकरण की सहायता से उत्तर निकालते हैं।

🧩 आयु संबंध के मुख्य प्रकार:

वर्तमान आयु पर आधारित प्रश्न
भूतकाल की आयु पर आधारित प्रश्न
भविष्य की आयु पर आधारित प्रश्न
संयुक्त आयु या कुल आयु से संबंधित प्रश्न
आयु का अनुपात या अंतर से संबंधित प्रश्न

📌 प्रमुख सूत्र (Important Formulas)

n वर्षों बाद की आयु = वर्तमान आयु + n
n वर्षों पहले की आयु = वर्तमान आयु - n
संयुक्त आयु = सभी व्यक्तियों की वर्तमान आयु का योग
अनुपात = एक व्यक्ति की आयु / दूसरे व्यक्ति की आयु

🧮 उदाहरण 1:

प्रश्न: राम और श्याम की वर्तमान आयु का अनुपात 3:4 है। यदि राम की आयु 15 वर्ष है, तो श्याम की आयु ज्ञात कीजिए।

चरण 1: दिया गया अनुपात राम : श्याम = 3 : 4
चरण 2: यह मान लीजिए कि राम की आयु = 3x और श्याम की आयु = 4x
चरण 3: लेकिन राम की आयु = 15 वर्ष दी गई है।
तो 3x = 15
x = 153 = 5
चरण 4: अब श्याम की आयु = 4x = 4 × 5 = 20 वर्ष

🧮 उदाहरण 2:

प्रश्न: रीता की वर्तमान आयु 10 वर्ष है और उसके भाई की आयु 5 वर्ष है। 5 वर्षों बाद उनका आयु अनुपात क्या होगा?

चरण 1: रीता की वर्तमान आयु = 10 वर्ष, भाई की = 5 वर्ष
चरण 2: 5 वर्षों बाद रीता = 10 + 5 = 15 वर्ष, भाई = 5 + 5 = 10 वर्ष
चरण 3: अनुपात = रीता : भाई = 15 : 10
चरण 4: इसे सरल करने के लिए 5 से भाग दें: (15 ÷ 5) : (10 ÷ 5) = 3 : 2
उत्तर: 5 वर्षों बाद उनका आयु अनुपात = 3 : 2

🧮 उदाहरण 3:

प्रश्न: सुषमा की वर्तमान आयु 25 वर्ष है। 10 वर्ष पहले उसकी आयु कितनी थी और उसका अनुपात वर्तमान से क्या होगा?

चरण 1: वर्तमान आयु = 25 वर्ष
चरण 2: 10 वर्ष पहले = 25 - 10 = 15 वर्ष
चरण 3: अनुपात = पुरानी आयु : वर्तमान आयु = 15 : 25
चरण 4: इसे 5 से सरल करें = 3 : 5
उत्तर: 10 वर्ष पहले आयु = 15 वर्ष, अनुपात = 3 : 5

🧮 उदाहरण 4:

प्रश्न: मोहन की आयु सोहन से 6 वर्ष अधिक है। यदि सोहन की वर्तमान आयु 14 वर्ष है, तो मोहन की आयु ज्ञात करें।

चरण 1: सोहन की आयु = 14 वर्ष
चरण 2: मोहन की आयु = सोहन की आयु + 6 = 14 + 6
उत्तर: मोहन की आयु = 20 वर्ष

🧮 उदाहरण 5:

प्रश्न: अंजली और सुषमा की कुल आयु 40 वर्ष है। अंजली की आयु, सुषमा की आयु का दुगुना है। उनकी व्यक्तिगत आयु ज्ञात करें।

चरण 1: मान लीजिए सुषमा की आयु = x वर्ष
चरण 2: तो अंजली की आयु = 2x वर्ष
चरण 3: कुल = x + 2x = 3x
3x = 40 ⇒ x = 403 ≈ 13.33 वर्ष
चरण 4: सुषमा = x = 13.33 वर्ष, अंजली = 2x = 26.67 वर्ष
उत्तर: सुषमा = 13.33 वर्ष, अंजली = 26.67 वर्ष

🧮 उदाहरण 6 (समीकरण आधारित प्रश्न):

प्रश्न: एक पिता की आयु उसके पुत्र से 24 वर्ष अधिक है। 2 वर्षों बाद पिता की आयु, पुत्र की आयु से दुगुनी हो जाएगी। वर्तमान आयु ज्ञात करें।

चरण 1: मान लीजिए पुत्र की वर्तमान आयु = x वर्ष
चरण 2: पिता की आयु = x + 24
चरण 3: 2 वर्षों बाद:
- पुत्र = x + 2
- पिता = x + 24 + 2 = x + 26
चरण 4: दिया गया है कि पिता = 2 × पुत्र ⇒ x + 26 = 2(x + 2)
चरण 5: समीकरण हल करें:
- x + 26 = 2x + 4
- 26 - 4 = 2x - x
- 22 = x
चरण 6: पुत्र = 22 वर्ष, पिता = 22 + 24 = 46 वर्ष
उत्तर: पुत्र = 22 वर्ष, पिता = 46 वर्ष